Paradoja de Galileo

 ¿Has escuchado el principio de: el todo es mayor que sus partes?, aquí te mostraremos una paradoja acerca de ello argumentado desde el propio Galileo Galilei.

La paradoja de Galileo es una demostración de una de las sorprendentes propiedades de los conjuntos infinitos. El carácter paradójico se da por poner en entredicho el principio de que el todo es mayor que sus partes.

Galileo Galilei hizo dos afirmaciones aparentemente contradictorias acerca de los números enteros positivos. Primero, algunos números tienen la propiedad de ser un cuadrado perfecto, mientras que otros no la tienen. Por ello, el conjunto de todos los números, incluyendo tanto a los cuadrados como a los no cuadrados, tiene que ser mayor que el conjunto de los cuadrados. Sin embargo, por cada cuadrado hay exactamente un número que es su raíz cuadrada, y por cada número hay exactamente un cuadrado. Por lo tanto, no puede haber más de un tipo que de otro. Este es uno de los primeros usos, aunque no el primero, de demostración a través de una función biyectiva.

En sus célebres "Diálogos" Galileo llegó a la conclusión de que los conceptos de menor, igual y mayor sólo se aplicaban a conjuntos finitos, y no tenían sentido aplicados a conjuntos infinitos. En el siglo XIX, Cantor, usando los mismos métodos, demostró que a pesar de que el resultado de Galileo era correcto si se aplicaba a los números enteros, o incluso a los racionales, la conclusión general no era cierta: algunos conjuntos infinitos son mayores que otros, en el sentido de que no se pueden relacionar en una correspondencia biunívoca. No obstante, es notable que Galileo haya demostrado que el número de puntos en un segmento es el mismo que en un segmento algo mayor, pero, por cierto, no llegó a la demostración de Cantor sobre la existencia de varios infinitos ni a su concepto de número transfinito. Galileo tenía en mente en ese momento otros asuntos: estaba anotando las contradicciones en las paradojas de Zenón para abrir camino a su teoría matemática del movimiento.

Paradoja de Fermi

La creencia común de que el Universo posee numerosas civilizaciones avanzadas tecnológicamente, combinada con nuestras observaciones que sugieren todo lo contrario es paradójica sugiriendo que nuestro conocimiento o nuestras observaciones son defectuosas o incompletas.

            Hace 55 años Frank Drake, ex presidente del SETI, ideó la manera de calcular las probabilidades que tenemos de contactar otras civilizaciones en la vía láctea, y para esto desarrolló la siguiente ecuación:

N = R* x Fp x Ne x Fl x Fi x Fc x L.

Donde:

·         R* es el número de estrellas que nacen en nuestra galaxia cada año. Son unos 200.000 millones de estrellas al año.

·         Fp es la fracción de esas estrellas con planetas. El número de estrellas con planetas en la zona óptima del disco galáctico se reduce a 25.000 millones.

·         Ne es el número de planetas situados en la ecosfera, esto es, en la zona óptima para la vida. Son 10.000 millones de planetas en torno a 5.000 millones de estrellas.

·         Fl es la fracción de estos planetas que pueden desarrollar vida. Donde hay cantidad suficientes fuentes de energía para la vida. La cifra se reduce a 25 millones de planetas.

·         Fi es la fracción de planetas donde evoluciona la vida inteligente.

·         Fc los planetas donde la vida inteligente alcanza un desarrollo tecnológico que permita la comunicación interestelar. Estimando un promedio del 1%, quedan 250.000 planetas.

·         L es la persistencia. Es decir, el tiempo que una civilización con ese nivel tecnológico sobrevive.

·         N es el resultado final.

¿A dónde vamos con todo esto? Según los números, en nuestra galaxia habrían alrededor de 100,000 civilizaciones inteligentes, pero, ¿dónde están?

La paradoja de Fermi –propuesta por el científico del mismo nombre- es la contradicción existente entre los números que nos muestran las altas probabilidades de que no estamos solos en el universo y la ausencia de evidencia de dichas civilizaciones.

Al querer descubrir quiénes son nuestros vecinos nos ayudamos de la ecuación de Drake para presentar evidencias de que no somos los únicos en el barrio; sin embargo, Fermi, en 1950 tumba estos cálculos argumentando, como ya mencionamos, ¿dónde están? ¿por qué no hemos encontrado rastro de ellos?

Según Wikipedia: “La formulación de la paradoja surgió en una época en la que Fermi estaba trabajando en el Proyecto Manhattan cuyo fin era el desarrollo de la bomba atómica estadounidense. La respuesta de Fermi a su paradoja es que toda civilización avanzada desarrollada en la galaxia, desarrolla con su tecnología el potencial de exterminarse tal y como percibía que estaba ocurriendo en su época. El hecho de no encontrar otras civilizaciones extraterrestres implicaba para él un trágico final para la humanidad”.

No pienso engañarlos diciendo que conozco la respuesta correcta a esta paradoja. Nadie la conoce. Pero lo que sí podemos hacer es proponer una serie de soluciones posibles y analizar cada una. Cada quien se quedará con la que más le convenza.

• Solución I. Los viajes interestelares son imposibles o muy difíciles e imprácticos
• Solución II. Los extraterrestres sí exploran la galaxia, pero aún no han llegado aquí.
• Solución III. Los extraterrestres listos se quedan en casa.
• Solución IV. Ya están aquí, pero no se dejan ver, o por lo menos no fácilmente.
• Solución V. Las civilizaciones se extinguen antes de lograr explorar la galaxia.

Y tú, ¿Qué crees?

Paradoja del Hotel Infinito de Hilbert

¿Qué es el infinito? ¿Es infinito el número de granos de arena de una playa, o el de estrellas que vemos en el cielo?  David Hilbert, un gran matemático alemán, explicaba el concepto de infinito utilizando como ejemplo un hotel de infinitas habitaciones, al que llegaban diferentes cantidades de pasajeros. Un hotel semejante, ¿podría tener todas sus habitaciones ocupadas? Bienvenidos al Gran Hotel de Hilbert.

Para explicar los conceptos relacionados con el infinito, Hilbert utilizaba a menudo el ejemplo de un hotel muy especial, uno que contaba con infinitas habitaciones. Hilbert imaginó un hotel con infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, 4… y así hasta el infinito. Lo primero que tenemos que recordar es que “infinito” no significa “un número grande”. Si fuese así, siempre podríamos encontrar un número algo mayor (“un número grande” +1) que lo superase. Aclarado esto, podemos intentar comprender las paradojas que plantea el Gran Hotel de Hilbert.

Infinito + 1

Imaginemos que una noche de tormenta llega al hotel de infinitas habitaciones un viajero con evidentes intenciones de alojarse en él, pero se encuentra con un cartel en la puerta que avisa que está completo. De todos modos, decide entrar y ver si hay alguna posibilidad de pasar la noche resguardado de la lluvia. Rápidamente, la recepcionista -posiblemente una matemática consumada- encuentra una solución: le pide al cliente de la habitación 1 que se cambie a la 2, al de la 2 que pase a la 3, y así sucesivamente. Cuando todos los pasajeros se han movido de habitación, la primera queda disponible para el recién llegado. Uno podría preguntarse qué ocurrió con el pasajero que se encontraba en el último cuarto, ya que en un hotel convencional se hubiese quedado sin lugar. Sin embargo, en el Gran Hotel de Hilbert no hay algo así como “último cuarto”, por lo que ese problema no existe. El infinito siempre admite “un lugar más” al final.

Este mecanismo de correr a los pasajeros hacia los cuartos con números más grandes puede aplicarse todas las veces que sea necesario para alojar cualquier número extra de pasajeros. Si llegasen 10, 20 o 256.345 pasajeros, bastaría con desplazar ese número de cuartos a cada una de las personas alojadas, y asunto resuelto. Pero ¿qué pasaría si al hotel, ya completo, llegasen infinitos pasajeros más?

Hotel infinito, pasajeros infinitos

Hilbert contaba que un día -estando su hotel lleno con infinitos huéspedes- llegó el representante de una agencia de viajes con un problema. Tenía una excursión compuesta por infinitos turistas que necesitaban hospedarse esa noche en el hotel, y así se lo planteo a la astuta recepcionista. No podía recurrir al truco anterior, ya que los pasajeros a desplazar nunca hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones. Sin embargo, pudo resolver el problema. Simplemente, pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y las infinitas habitaciones impares quedaron libres. Así, los infinitos turistas pudieron alojarse sin problemas. ¿No es asombroso?

La Cinta de Möbius

¿Alguna vez te has puesto a pensar que algún objeto puede quizá no ser lo que aparenta? Hoy te mostraremos uno que cumple con esta condición.

La Cinta de Möbius aparenta ser un objeto de tres dimensiones pero no es así; es más bien una superficie con una sola cara y un solo borde. Además de que tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable, una superficie reglada.

Fue descubierta en forma independiente en 1858 por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing.

Es una superficie que sólo posee una cara: Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.

Tiene sólo un borde: Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad del borde.

Es una superficie no orientable: Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Una persona que se deslizara sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al recorrer una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.

 

Fuente:

http://www.sitographics.com/conceptos/notas/moebius.html 

La Tierra está girando más rápido

¿No te ha pasado que el día se te pasa “volando”, que el día no te alcanza para hacer todas las actividades que antes hacías, que los meses del año ahora duran menos y cuando menos acuerdas ya es Diciembre otra vez?

A partir de mayo del año 2000, una energía de cuarta dimensión alteró la carga electromagnética de la Tierra, en la UTN de Múnich, Alemania, el Dr. Schumann descubrió un efecto de resonancia en el sistema Tierra-Aire-Ionosfera, que mostraba la particularidad de polarizarse e imponer posibles direcciones perpendiculares de vibraciones. El descubrimiento del Dr. Schumann es hoy conocido con el término de "Resonancia Schumann", el cual trata sobre Metafísica Cuántica y Astrofísica Meta Cuántica, y explica por qué la tierra gira más rápido.

Desde 1980 la Resonancia de Schumann se ha elevado hasta 12 Hz. Esto significa que un día de 24 horas, ahora equivale a 16 horas. El tiempo lineal se afectó y créanlo o no, este se está acelerando, después del año 2000 hasta ahora, el tiempo pasa volando. El día no alcanza para hacer todo lo que se desea hacer. Antes esperábamos que llegara Navidad. Ahora la Navidad, cumpleaños y otros acontecimientos importantes nos encuentran, sin siquiera esperarlos.

Se dice que si la Resonancia Schumann llegara a la frecuencia de 13 ciclos, la Tierra detendría su rotación y estaríamos en el campo magnético del punto cero o 13 de la escala de Schumann, la Tierra se detendría y en dos o tres días comenzaría a girar nuevamente en la dirección opuesta.

• ¿Qué es la Resonancia Schumann?
  Es un conjunto de picos en la banda de frecuencia extremadamente baja (ELF) del espectro radioeléctrico de la Tierra.

Pero esto sigue siendo una controversia entre muchos países.

La paradoja de los gemelos

• Sintesis del Video

La paradoja de los gemelos (o paradoja de los relojes), propuesta por Albert Einstein, es un experimento mental que analiza la distinta percepción del tiempo entre dos observadores con diferentes estados de movimiento. Los protagonistas son dos gemelos, y el primero de ellos hace un viaje en una nave espacial a velocidades cercanas a la velocidad de la luz. El otro se queda en la Tierra. Al regresar, el viajero es más joven que el gemelo terrestre debido a los efectos de la Teoría Especial de la Relatividad

El demonio de Maxwell

El demonio de Maxwell es un experimento mental diseñado por James Maxwell que ilustraba la segunda ley de la termodinámica, que prohíbe que un cuerpo frio pueda pasar su “calor” a otro más caliente. 

Esta paradoja se utiliza para ejemplificar la Segunda Ley de la Termodinámica, que habla acerca del equilibrio de temperaturas entre dos sistemas.

 

También se hace referencia a esta ley con la afirmación de que “en un sistema aislado, la entropía (el desorden) nunca disminuye”. Es decir las cosas siempre tienden a hacerse más desordenadas cada vez, y si quisiéramos ordenarla sería necesario invertir energía para ello.

 

• Para entender este experimento mental imagínate lo siguiente.

En un recipiente herméticamente sellado se encuentran átomos de gas caliente y frío, y existe una puerta que divide en dos el recipiente. Esta puerta es manipulada por un demonio quien es capaz de interactuar a nivel atómico y diferenciar entre un átomo frio y uno caliente.

Los átomos de gas están moviéndose por todas direcciones, entonces el demonio puede ir separando los átomos fríos a la izquierda y los calientes a la derecha. Para ello abre y cierra la puerta cuando sea necesario, permitiendo así que los átomos poco a poco se vayan separando y “ordenando”, lo cual va en contra de la segunda ley de la termodinámica.

 

En este experimento se supone que no se hace ninguna manipulación directa de los átomos es decir, no se empujan ni nada por el estilo, simplemente se utiliza la información (de si son fríos o calientes) y con esta información abrir o cerrar la puerta para ir separándolos, lo que va en contra de la segunda ley de la termodinámica.

• VAMOS A INTENTARLO:

Un experimento científico realizado por Masaki Sano, de la Universidad de Tokio y sus colegas demostraron que era posible convencer a una “gota” para que subiera una escalera en espiral sin usar ningún tipo de energía más que información. Para ello utilizaron una gota de poliestireno a nanoescala, a grandes rasgos la gota giraba en dos posibles direcciones, y debido a la interacción con las moléculas de su alrededor, se iba moviendo en dirección horaria o anti-horaria.

Si la gota debido a la acción de las moléculas de alrededor giraba en sentido horario (bajando), se aplicaba voltaje a su alrededor, que simulaba la puerta de la paradoja de Maxwell, de esta manera, se “animaba” a la gota a seguir subiendo (en sentido anti horario) sin aplicarle directamente energía a la gota, simplemente “cerrando la puerta” cada vez que quería bajar.

En fin, una demostración más de lo sorprendente del mundo cuántico